Polígon
Perímetre
—
n × costat
Angle interior
—
(n−2)×180° / n
Cercle (radi r)
Circumferència
2πr
—
Àrea del cercle
πr²
—
Propietats del polígon
Quadrilàter
4 costats
Angle interior
(n − 2) × 180° ÷ n
—
Costat r = radi del cercle
c = 2r · sin(180° ÷ n)
—
Perímetre
P = n · c
—
Àrea
A = ½ · n · r² · sin(360° ÷ n)
—
D'on surt el costat? Uneix el centre amb dos vèrtexs veïns: obtens un
triangle isòsceles amb dos costats de mida r i un angle central de
360° ÷ n. L'altura d'aquest triangle el parteix en dos triangles
rectangles iguals, cadascun amb un angle de 180° ÷ n al centre i
un catet que fa mig costat. D'aquí surt c = 2r · sin(180° ÷ n).
Aproximació a π
π és el que mesura una circumferència comparada amb el seu diàmetre. Si canviem la circumferència pel perímetre del polígon inscrit, obtenim una aproximació de π.
P ÷ 2r
—
—
π = 3,14159…
Encara li falten — per arribar a π.
Sempre es queda curt
El polígon va per dins del cercle, i el camí recte entre dos vèrtexs és més curt
que l'arc que els uneix. Per això el perímetre és sempre menor que la
circumferència, i aquesta aproximació sempre es queda per sota de π: mai la
supera, per moltíssims costats que hi posem.
Arquimedes ho va resoldre mesurant alhora un polígon per dins i un altre per fora: així π quedava atrapat entre dos valors, i sabia del cert entre quins dos números es trobava.
Arquimedes ho va resoldre mesurant alhora un polígon per dins i un altre per fora: així π quedava atrapat entre dos valors, i sabia del cert entre quins dos números es trobava.