Camp de pendents i equacions diferencials

Gairebé totes les equacions diferencials que descriuen el món real no es poden resoldre amb una fórmula. Això no és una limitació temporal per manca d'enginy: és la situació normal. Aquesta càpsula ensenya què es fa quan no hi ha fórmula —mirar el problema geomètricament, integrar-lo pas a pas— i on són els límits: quan un mètode numèric et menteix, i quan la teoria mateixa deixa de garantir-te una única resposta.

1. El canvi de pregunta

Una equació diferencial com y′ = f(x,y) no et diu quant val y. Et diu una cosa aparentment més modesta: a cada punt del pla, quin pendent ha de tenir la corba solució que hi passi.

Sembla poca informació, però n'és molta. Si a cada punt saps cap a on has d'anar, pots començar en qualsevol lloc i deixar-te portar. La solució és, literalment, una corba que en tot moment va en la direcció que li marquen.

Dibuixar aquest pendent com un traç curt a cada punt d'una graella dona el camp de pendents, i té una virtut pedagògica enorme: converteix una equació en una imatge. Abans de calcular res, ja pots veure de quina forma seran les solucions, on creixen, on s'aplanen i cap a on tendeixen.

2. Integrar pas a pas: el mètode d'Euler

La idea més ingènua possible per seguir el camp és també la primera que va tenir algú (Euler, segle XVIII): si sé on soc i quin pendent hi ha, avanço una micona en línia recta seguint aquell pendent, i torno a mirar.

$y_{n+1}=y_n+h·f(x_n,y_n)$

El problema és evident quan hi penses: el pendent només és exacte al punt de partida. Un cop t'has mogut, la corba real ja s'ha corbat i tu has seguit recte. L'error de cada pas és petit, però s'acumula, i s'acumula sempre en el mateix sentit si la corba té concavitat constant.

Quantitativament: l'error de cada pas és de l'ordre de h², però com que fas ~1/h passos per recórrer una distància fixa, l'error total és de l'ordre de h. Es diu que Euler és un mètode d'ordre 1. Vol dir que si redueixes el pas a la meitat, l'error es redueix a la meitat. Per guanyar tres xifres decimals cal fer mil vegades més passos.

3. Runge–Kutta: la mateixa idea, mirant abans de saltar

La millora, deguda a Carl Runge (1895) i Wilhelm Kutta (1901), és sorprenentment intuïtiva: en lloc de fiar-se del pendent inicial, mira'n uns quants dins de l'interval i fes-ne una mitjana ponderada.

Els pesos 1, 2, 2, 1 dividits per 6 no són arbitraris: són exactament els que fan que el desenvolupament de Taylor del resultat coincideixi amb el de la solució real fins al terme h⁴. Per això l'error total és de l'ordre de h⁴ — mètode d'ordre 4.

A la càpsula pots comprovar-ho tu mateix: activa «Euler vs Runge-Kutta», puja el pas h al màxim, i mira com la corba vermella discontínua (Euler) se separa visiblement de la blava contínua (RK4) partint del mateix punt i amb el mateix nombre de passes.

4. Quan la teoria et garanteix una única resposta (i quan no)

Hi ha un fet que es dona per descomptat i que no és gratuït: per cada punt hi passa una sola solució. És el que fa que les corbes de la Vista 1 mai es creuin —cadascuna té el seu «carril».

Això ho garanteix el teorema de Picard–Lindelöf, però amb una condició: f ha de ser prou «ben educada» en el sentit de Lipschitz, cosa que en la pràctica vol dir que la seva derivada respecte de y no pot fer-se infinita.

I quan la condició falla, la unicitat es trenca de veritat. La tercera vista de la càpsula ho ensenya amb un exemple concret i verificable:

A la càpsula, si cliques sobre la línia y=0 veuràs aparèixer diverses corbes vàlides des del mateix punt; si cliques fora, la unicitat torna i només en surt una. No és un error del programa: és el teorema fallant exactament allà on ha de fallar.

5. Equacions autònomes: quan només importa on s'acaba

Una equació és autònoma si f no depèn explícitament de x, sinó només de y: y′ = f(y). Això vol dir que la regla és la mateixa en tot moment, i té una conseqüència pràctica enorme.

Com que el pendent només depèn de l'alçada, tota la informació cap en una sola línia vertical —la línia de fase— en lloc d'un pla sencer. Els punts on f(y) = 0 són els equilibris: allà el pendent és zero i la solució es queda quieta per sempre.

I la pregunta interessant no és quina corba surt, sinó si aquests equilibris són estables:

• Si f és positiva just a sota i negativa just a sobre, el flux hi apunta des dels dos costats → equilibri estable (atractor).
• Si passa el contrari, qualsevol desviació creix → equilibri inestable (repulsor).
• Si f té el mateix signe als dos costats → semiestable: atreu per una banda i repel per l'altra.

Amb l'equació logística y′ = 0,8·y·(1−y/3), per exemple, y=0 és inestable i y=3 és estable: qualsevol població que comenci per sobre de zero acaba tendint a 3, que és la capacitat de càrrega del sistema. Aquest tipus de conclusió no requereix resoldre res: s'obté mirant només els signes.

6. Què fem a l'element interactiu

Vista 1 — Traça de solucions. Tries y′=f(x,y) i cliques al camp (o escrius les coordenades) per deixar-hi caure un punt. Es dibuixa la corba solució que hi passa. Pots deixar-ne diversos i comprovar que mai es creuen. El toggle «Euler vs Runge-Kutta» traça les dues corbes des del mateix punt i amb el mateix h, perquè la diferència es vegi directament.

Vista 2 — Equilibris i estabilitat. Tria una equació autònoma i mira'n la línia de fase, amb els equilibris marcats i fletxes indicant el flux. Deixa-hi caure punts i mira'ls convergir o fugir.

Vista 3 — Quan falla la unicitat. L'equació especial del punt 4, amb el comportament degenerat sobre y=0.

7. Aparicions fora de les matemàtiques

Predicció meteorològica. Els models atmosfèrics són sistemes d'equacions diferencials integrats numèricament sobre graelles de milions de punts. Lewis Fry Richardson ho va intentar a mà el 1922 —li va costar sis setmanes calcular una predicció de sis hores, i va sortir malament— i va estimar que caldrien 64.000 persones calculant alhora per anar més ràpid que el temps real. Avui ho fan superordinadors, amb els descendents directes d'aquests mètodes.

Mecànica orbital. Les trajectòries de sondes i satèl·lits es calculen integrant numèricament. En missions llargues es fan servir integradors simplèctics, variants dissenyades perquè l'error no faci derivar l'energia del sistema al cap de milions de passos —un problema que RK4 sí que té a llarg termini.

Epidemiologia. Els models SIR i els seus derivats, que van omplir els diaris el 2020, són sistemes d'equacions diferencials. Els «equilibris» i la seva estabilitat són exactament el que determina si un brot s'apaga o esclata.

Circuits i control. Tot simulador de circuits (SPICE i companyia) integra equacions diferencials. Els sistemes de control —des del regulador d'un termòstat fins al pilot automàtic— es dissenyen analitzant l'estabilitat dels equilibris, exactament com a la Vista 2.

Farmacologia. Els models farmacocinètics que determinen dosis i intervals són equacions diferencials sobre les concentracions als compartiments del cos.

8. Curiositats

El caos va néixer d'un error d'arrodoniment. El 1961, Edward Lorenz va reintroduir dades a mig càlcul d'un model meteorològic escrivint 0,506 en lloc del 0,506127 que la màquina tenia guardat. La predicció resultant es va apartar completament de l'original. D'aquella diferència de mil·lèsimes en va sortir la teoria del caos i l'«efecte papallona». La sensibilitat a les condicions inicials no era un error del càlcul: era una propietat de l'equació.

Hi ha equacions on el pas ha de ser absurdament petit. S'anomenen rígides (stiff), i apareixen quan el sistema té processos amb escales de temps molt diferents (per exemple, reaccions químiques ràpides i lentes alhora). Amb un mètode explícit com RK4 caldria un h tan petit que el càlcul seria inviable; s'han de fer servir mètodes implícits. Detectar que una equació és rígida és una part important de l'ofici.

Euler el va publicar el 1768 i encara s'ensenya. No perquè sigui bo —no ho és— sinó perquè és el nucli conceptual de tots els altres. Tots els mètodes d'un pas són, en el fons, «Euler però mirant millor».

Kutta va publicar el mètode amb 34 anys i és per això que se'l recorda. Wilhelm Kutta és més conegut, en aerodinàmica, per la condició de Kutta i el teorema de Kutta–Jukovski sobre sustentació. Va fer dues contribucions independents i importants a camps diferents.

Els camps de pendents es dibuixaven a mà. Abans dels ordinadors, traçar un camp de pendents era un exercici estàndard de llapis i regle a les classes d'equacions diferencials, i seguir-ne una corba a ull era una manera legítima d'obtenir una solució aproximada. La imatge que la càpsula genera en mil·lisegons era feina d'una tarda.

Que les corbes no es creuin té una lectura física. Si dues solucions es creuessin, al punt de creuament el sistema hauria de «triar» cap on va, i el futur no estaria determinat pel present. La unicitat de Picard–Lindelöf és, en aquest sentit, la formulació matemàtica del determinisme.

9. Connexió amb altres àrees

Amb el Mètode de Newton comparteix la naturalesa profunda: tots dos són mètodes iteratius que troben respostes que cap fórmula pot donar, i tots dos tenen un «ordre de convergència» que en mesura l'eficiència. Newton és quadràtic; RK4 és d'ordre 4. Aquesta manera de comparar algorismes és el nucli de l'anàlisi numèrica.

Amb el Joc del caos comparteix la idea d'iterar una regla i estudiar el comportament límit —allà l'atractor és una figura fractal, aquí és un punt d'equilibri— i, amb l'anècdota de Lorenz, la mateixa família de fenòmens caòtics.

I amb la Teoria de Galois hi ha un paral·lelisme que val la pena notar: allà es demostra que no hi ha fórmula amb radicals per a la quíntica, i la sortida és calcular numèricament. Aquí passa el mateix a una escala molt més gran: la immensa majoria d'equacions diferencials no tenen solució tancada, i tota la disciplina existeix precisament per això. De fet hi ha una teoria de Galois diferencial que decideix exactament quines sí que en tenen.