Característica d'Euler i poliedres

Aquesta càpsula conté una de les demostracions més satisfactòries de tota la matemàtica elemental: la prova que només existeixen cinc sòlids platònics. No «n'hem trobat cinc i sembla que no n'hi ha més», sinó una demostració tancada que un sisè és impossible en qualsevol univers. I el més notable és amb què es fa: comptant. Anem a veure com una fórmula que sembla una curiositat aritmètica acaba sent una eina que distingeix un donut d'una esfera.

1. La fórmula, i per què és estranya

Agafa qualsevol poliedre convex. Compta'n els vèrtexs (V), les arestes (A) i les cares (F). Calcula V − A + F. Sempre dona 2.

El que fa que això sigui desconcertant és que els tres números individuals no tenen res en comú. El dodecàedre té 20 vèrtexs i l'octàedre 6; el cub té 6 cares i l'icosàedre 20. No hi ha cap patró. I tanmateix la combinació V−A+F dona sempre el mateix.

Encara més sorprenent: pots deformar el sòlid tant com vulguis —inflar-lo, aixafar-lo, torçar-lo— i mentre no el trenquis ni hi facis forats, el número no canvia. Pots afegir vèrtexs i cares: si divideixes una cara quadrada en dos triangles, afegeixes 1 aresta i 1 cara, i −1+1 = 0. El número aguanta.

2. Per què és certa: la demostració d'aplanar

La demostració clàssica (Cauchy, 1811) és una de les més boniques que hi ha, i és totalment visualitzable.

Pas 1. Treu una cara del poliedre i, pel forat, estira la resta fins a aplanar-la damunt d'una taula. Obtens un dibuix pla amb els mateixos vèrtexs i arestes, i una cara menys. Ara has de demostrar que, per a aquest dibuix pla, V − A + F = 1.

(Això és exactament el que són els diagrames de Schlegel que la càpsula et dibuixa quan trobes un (p,q) vàlid: la projecció plana d'un poliedre real, feta de manera que cap aresta en creui cap altra.)

Pas 2. Triangula: si alguna cara té més de 3 costats, traça-hi diagonals. Cada diagonal afegeix 1 aresta i 1 cara, i com que apareixen amb signes oposats, V−A+F no canvia.

Pas 3. Ara ves eliminant triangles de la vora, un a un. Hi ha dos casos: si el triangle toca la vora per una sola aresta, en treure'l perds 1 aresta i 1 cara → sense canvi. Si hi toca per dues arestes, perds 2 arestes, 1 vèrtex i 1 cara → −1 +2 −1 = 0, tampoc no canvia.

Pas 4. Continua fins que només quedi un triangle. Aleshores V=3, A=3, F=1 (la cara interior), i 3−3+1 = 1. Com que cap pas ha canviat el valor, valia 1 des del principi. Tornant a afegir la cara que havíem tret al pas 1: V−A+F = 2. ∎

3. De la fórmula a la desigualtat: el cor de la càpsula

Ara la pregunta interessant, que és la que fa servir l'element interactiu. Exigim que el poliedre sigui regular: que totes les cares tinguin el mateix nombre de costats (diguem-ne p) i que a cada vèrtex s'hi trobin el mateix nombre de cares (diguem-ne q). Quines parelles (p,q) són possibles?

La clau és comptar les arestes de dues maneres diferents, una tècnica que apareix constantment en combinatòria.

Tot el problema geomètric s'ha reduït a una única desigualtat entre dos enters. I ara només cal buscar-hi solucions amb p ≥ 3 i q ≥ 3 (una cara necessita almenys 3 costats; un vèrtex necessita almenys 3 cares per no ser pla).

4. Només cinc, i per què no n'hi pot haver cap més

Aquí és on la cerca s'acaba de pressa, i val la pena veure per què.

Si p ≥ 6 i q ≥ 3, aleshores 1/p + 1/q ≤ 1/6 + 1/3 = 1/2, que no és estrictament major que 1/2. Fallat. El mateix argument per simetria amb q ≥ 6. Per tant tant p com q han de ser 3, 4 o 5: només 9 casos per comprovar.

Cinc solucions. Ni una més, per sempre. Això no és una llista d'exemples: és una classificació completa i tancada, del mateix tipus que la dels grups d'ordre petit a la càpsula de Taules de Cayley.

5. Els altres dos casos: quan la igualtat i quan menys

La taula d'abans amaga una segona història. Els casos descartats no són «res»: són altres geometries.

Quan 1/p + 1/q = 1/2 exactament, l'equació 1/A = 0 diu que farien falta infinites arestes. No es tanca cap sòlid: en surt un mosaic infinit del pla. I només n'hi ha tres: (3,6) triangles, (4,4) quadrats, (6,3) hexàgons. Són exactament els tres únics mosaics regulars del pla, i aquest és el motiu pel qual les rajoles i els ruscos d'abelles tenen les formes que tenen.

Quan 1/p + 1/q < 1/2, la figura no cap ni a l'esfera ni al pla: només existeix sobre una superfície corbada cap enfora, el pla hiperbòlic. Aquestes són les tessel·lacions que Escher va dibuixar a la sèrie Límit del cercle, on les figures s'encongeixen infinitament cap a la vora.

Dit d'una altra manera: una sola desigualtat entre dos enters separa les tres grans geometries —esfèrica, euclidiana i hiperbòlica. El signe de 1/p + 1/q − 1/2 et diu en quin dels tres mons vius.

6. Quan χ no val 2: superfícies amb forats

La segona vista de la càpsula («Tor i ampolla de Klein») explora què passa si abandonem l'esfera.

Agafa un quadrat i decideix que les vores oposades estan enganxades. Si enganxes els dos costats horitzontals en el mateix sentit i els dos verticals també, obtens un tor (un dònut) — és exactament el que passa als videojocs on surts per la dreta i entres per l'esquerra. Si enganxes els verticals en sentits oposats, obtens una ampolla de Klein, una superfície que no té «dins» ni «fora» i que no cap a l'espai tridimensional sense autointersecar-se.

La càpsula et deixa comptar V, A i F en els tres casos. El resultat és el següent, i és tot el punt:

En enganxar les vores, els vèrtexs i les arestes de la vora es fusionen de dos en dos, i el compte canvia. El tor té χ = 0, no 2. Per això no hi pot haver cap «sòlid platònic toroïdal» amb la nostra desigualtat: la desigualtat sortia de posar-hi un 2.

En general, per a una superfície orientable amb g forats, χ = 2 − 2g. Esfera (g=0): 2. Tor (g=1): 0. Tor doble (g=2): −2. La característica d'Euler compta forats.

7. Què fem a l'element interactiu

La graella (p,q). Cada casella és una parella candidata. En clicar-la, l'aplicació comprova la desigualtat amb aritmètica entera i et classifica el resultat en tres colors: verd si és un sòlid real (esfèric), gris si dona igualtat (mosaic pla) i vermell si queda per sota (hiperbòlic). No estàs consultant una llista memoritzada: estàs executant la classificació, casella a casella.

Els diagrames de Schlegel. Quan encertes un (p,q) vàlid, es dibuixa la projecció plana d'aquell poliedre. No és una imatge decorativa: és el mateix objecte del pas 1 de la demostració de Cauchy, i està calculat perquè cap aresta en creui cap altra.

La vista del tor. Les fletxes de les vores no són adorns: indiquen quins costats s'enganxen i en quin sentit. La diferència entre el tor i l'ampolla de Klein és, literalment, una fletxa girada.

8. Aparicions fora de les matemàtiques

La pilota de futbol i el fullerè. Una pilota clàssica té 12 pentàgons i 20 hexàgons. Els 20 hexàgons són negociables; els 12 pentàgons no. Si construeixes una superfície tancada només amb pentàgons i hexàgons, i a cada vèrtex n'hi conflueixen 3, Euler t'obliga a tenir-ne exactament 12: fent el compte surt χ = p/6, i imposar χ = 2 dona p = 12, independentment de quants hexàgons hi posis. La molècula C₆₀ —el «buckminsterfullerè», premi Nobel de Química el 1996— té exactament aquesta estructura, i per la mateixa raó.

Cartografia i el teorema dels quatre colors. Tot mapa pla es pot acolorir amb 4 colors sense que dos països veïns comparteixin color. La fórmula d'Euler és un ingredient bàsic de la demostració (Appel i Haken, 1976 — la primera demostració important assistida per ordinador).

Geometria diferencial. El teorema de Gauss–Bonnet diu que la curvatura total d'una superfície tancada és 2πχ. És a dir: la geometria (curvatura, que es mesura localment) està lligada a la topologia (χ, que és global). Per molt que deformis una esfera, la curvatura total és sempre 4π.

Xarxes i circuits. Per a un graf pla connex, V−A+F=2 dona relacions immediates entre nusos, connexions i regions. S'usa en disseny de circuits impresos per determinar si un circuit es pot traçar sense creuaments.

Anàlisi de dades. La topologia algebraica aplicada («homologia persistent») usa generalitzacions de χ per detectar forats i cavitats en núvols de punts de dades d'alta dimensió, en camps que van de la genòmica a la neurociència.

9. Curiositats

Descartes hi va arribar 100 anys abans i no ho va publicar. Al voltant del 1630 René Descartes va escriure un resultat equivalent en un manuscrit que va romandre inèdit. El text es va perdre, se'n va trobar una còpia feta per Leibniz al segle XIX, i per això de vegades es parla del teorema de Descartes–Euler.

Euler no en va donar una demostració correcta. Quan va enunciar la fórmula el 1750, la seva justificació tenia buits. La primera demostració satisfactòria és de Legendre (1794), amb geometria esfèrica, i la d'aplanar que hem vist és de Cauchy (1811).

Els cinc sòlids són tres parelles i un solitari. El cub i l'octàedre són duals (intercanvia cares i vèrtexs i obtens l'altre); el dodecàedre i l'icosàedre també. El tetràedre és dual de si mateix. En la taula (p,q), la dualitat és simplement intercanviar p i q — per això (3,4) i (4,3) hi surten tots dos.

Plató els va assignar els elements. Al Timeu: tetràedre = foc, cub = terra, octàedre = aire, icosàedre = aigua. El dodecàedre, descobert després, va quedar per al cosmos sencer perquè no quedaven elements. Kepler encara va intentar el 1596, al Mysterium Cosmographicum, explicar les òrbites dels planetes encaixant-hi els cinc sòlids. Estava equivocat, però el llibre el va portar a les dades que després li van donar les seves lleis.

Un teorema que no admet excepcions… fins que en trobes. La fórmula falla per a poliedres amb forats (un marc de quadre té χ = 0) i per a poliedres no convexos amb cares que es toquen malament. Cada excepció històrica va obligar a precisar la definició, i aquest procés és el que Lakatos va convertir en filosofia de la ciència.

La demostració cap en una servilleta. Tot el resultat —que només hi ha cinc sòlids platònics— es dedueix de comptar arestes de dues maneres i resoldre una desigualtat amb dos enters petits. És un dels millors exemples de com un canvi de representació (de geometria a aritmètica) pot convertir un problema aparentment inabastable en una comprovació de nou casos.

10. Connexió amb altres àrees

Amb Nusos i tricolorabilitat comparteix el mateix bloc temàtic i la mateixa filosofia: buscar quantitats que sobrevisquin a la deformació. χ és un invariant de superfícies; la tricolorabilitat és un invariant de nusos. Totes dues serveixen per distingir, i cap de les dues per identificar.

Amb Taules de Cayley comparteix l'estructura de resultat: una classificació completa i tancada. Allà, tots els grups d'un ordre donat; aquí, tots els poliedres regulars. I no és casualitat que els grups de simetria dels cinc sòlids platònics siguin només tres (els del cub i l'octàedre coincideixen, i els del dodecàedre i l'icosàedre també), un altre reflex de la dualitat.

I amb el Pla d'Argand hi ha un pont concret: els vèrtexs d'un polígon regular de n costats inscrit en una circumferència són exactament les arrels n-èsimes de la unitat. El mateix objecte, vist com a geometria aquí i com a àlgebra allà.