El joc del caos
Salta repetidament una fracció del camí cap a un vèrtex triat a l'atzar. El resultat no hauria de dependre de res fix... i tanmateix, sempre convergeix exactament a la mateixa figura.
Tria N vèrtexs d'un polígon regular i una raó r (entre 0 i 1). Comença en qualsevol punt i repeteix: tria un vèrtex a l'atzar, i salta una fracció r del camí cap a ell. Marca el punt on caus. Repeteix-ho centenars de vegades. Això és el joc del caos.
El resultat sembla que hauria de ser un núvol de punts sense forma —al cap i a la fi, cada pas és pur atzar. Però no ho és: els punts s'acumulen sempre sobre la mateixa figura, anomenada atractor, i aquesta figura no depèn ni d'on comences ni de la seqüència concreta de vèrtexs que l'atzar hagi triat —només de N i r. Per N=3 i r=1/2, l'atractor és exactament el triangle de Sierpiński, arribat aquí per un camí completament diferent (atzar pur) del de tallar triangles.
La raó de fons: cada vèrtex defineix una petita còpia contreta (a escala r) de tota la figura. La unió d'aquestes N còpies torna a donar la figura sencera —per això se'n diu «atractor»: sigui quin sigui el punt de partida, el procés hi acaba caient sempre.
Aquestes figures no són ni una línia (dimensió 1) ni una superfície plena (dimensió 2): en tenen una d'intermèdia, la dimensió fractal. I no cal acceptar-ne la fórmula com un acte de fe: se'n dedueix en dues línies.
D'on surt D = log N / log(1/r). Fixa't en com es comporta la «quantitat de material» quan encongeixes una figura a escala r. Un segment (dimensió 1) a escala 1/2 té la meitat de longitud: (1/2)¹. Un quadrat ple (dimensió 2) a escala 1/2 té una quarta part d'àrea: (1/2)². El patró és general: una figura de dimensió D encongida a escala r conserva una fracció rD del material. Ara bé, el nostre atractor és exactament la unió de N còpies seves a escala r, i tot plegat ha de tornar a donar la figura sencera:
Però el primer pas amaga una condició. Escriure «N·rD = 1» pressuposa que en sumar el material de les N còpies no en comptes cap tros dues vegades, és a dir, que les còpies no se superposen (la condició de conjunt obert, en el teorema de Moran–Hutchinson). Si r és massa gran, les còpies s'encavalquen, el material compartit es compta repetit i la fórmula sobreestima la dimensió —fins a escopir valors més grans que 2, que per a una figura dibuixada en un pla són impossibles.
Cada N té el seu llindar rcrit, la raó més gran amb què les còpies encara no se solapen: N=3 i N=4 → 1/2, N=5 → (3−√5)/2 ≈ 0,382, N=6 → 1/3. Passa el lliscador de r per damunt d'aquest llindar i el requadre de sota t'avisarà que la fórmula ha deixat de ser vàlida —no és un detall tècnic menor, és la diferència entre un resultat demostrat i un número sense sentit.
Aquest mètode —repetir una regla senzilla i deixar que l'atzar la condueixi cap a un resultat determinat— és la base dels sistemes de funcions iterades, la mateixa maquinària que genera terrenys, plantes i núvols procedurals per ordinador. Canviant només N, r i quins salts es permeten, obtens tota una família d'atractors diferents a partir d'una regla idèntica.
- Tria N (vèrtexs del polígon) i ajusta r amb el lliscador.
- «Salta» fa un únic pas: veuràs quin vèrtex ha sortit i la línia del salt, perquè es vegi exactament què vol dir «una fracció r del camí».
- «Salta 500 cops» acumula punts de cop perquè la figura emergeixi ràpid. «Reinicia des d'un punt diferent» ho torna a fer des d'un altre lloc —mira com hi acaba tornant.
- Prova les restriccions opcionals («mai el mateix vèrtex», «mai l'oposat») i mira com canvia la figura sencera.
- El requadre calcula la dimensió en directe per al N i r triats (només quan no hi ha restriccions actives), i t'avisa si has passat el llindar rcrit on les còpies se superposen i la fórmula deixa de valdre.
- En Repte: prediu la dimensió abans de veure la figura, o endevina quin (N,r) ha generat un atractor que et mostrem ja fet.
Aquest és, probablement, l'experiment més contraintuïtiu de tot el web: un procés on cada pas es decideix llançant un dau produeix sempre, sense excepció, exactament la mateixa figura. No una de semblant: la mateixa. Anem a veure per què l'atzar no destrueix l'estructura sinó que la revela, què és exactament un atractor, i per què la fórmula de la dimensió fractal té una lletra petita que gairebé ningú explica.
1. L'experiment
Les regles caben en tres línies. Dibuixa N punts (els vèrtexs d'un polígon regular). Comença en un lloc qualsevol. Ara repeteix indefinidament: tria un vèrtex a l'atzar, mou-te una fracció r del camí cap a ell, i marca on has caigut.
Amb N=3 i r=1/2, la primera intuïció de tothom és que sortirà un núvol informe de punts. Al cap i a la fi, cada pas és pur atzar; no hi ha cap regla que digui on s'ha d'anar.
El que surt de veritat és el triangle de Sierpiński: una figura amb infinits forats triangulars, perfectament estructurada, la mateixa cada vegada. I si canvies el punt de partida, surt igual. I si canvies la llavor aleatòria, surt igual. L'única cosa que en canvia la forma són N i r.
2. Per què l'atzar no importa
La resolució de la paradoxa està en una observació senzilla sobre contraccions.
Cada pas del joc és una funció: si tries el vèrtex vₖ, el punt x es transforma en fₖ(x) = x + r·(vₖ − x). Aquesta funció acosta qualsevol parell de punts: si agafes dos punts x i y i els apliques la mateixa fₖ, la distància entre les imatges és exactament r vegades la distància original. Com que r < 1, cada aplicació els acosta.
És a dir: al cap de poques desenes de passos, on vas començar ha deixat de tenir cap efecte mesurable. La memòria del punt inicial s'esborra exponencialment. Per això la figura no en depèn.
Això explica per què el punt inicial és irrellevant, però encara no per què la seqüència aleatòria concreta tampoc no importa. La raó és diferent: la figura que veus no és la trajectòria d'una partida, sinó el conjunt de tots els llocs on el procés pot arribar. Una seqüència aleatòria llarga passa, tard o d'hora, per totes les regions accessibles. Dues seqüències diferents recorren els mateixos llocs en ordre diferent, i com que dibuixem punts sense recordar l'ordre, el resultat visual és idèntic.
3. L'atractor: la figura que es conté a si mateixa
Ara la caracterització precisa. Anomenem A la figura final. Què la defineix?
Fixa't que si un punt x és a A, aleshores fₖ(x) també hi és per a qualsevol k (perquè és un pas legal del joc). I al revés: tot punt de A ha vingut d'aplicar alguna fₖ a un altre punt de A. Per tant:
A = f₁(A) ∪ f₂(A) ∪ … ∪ fN(A)
En paraules: la figura és exactament la unió de N còpies encongides de si mateixa. Aquesta és la propietat d'autosemblança, i aquí no és una observació estètica sinó l'equació que defineix l'objecte.
Un conjunt de funcions contractives com aquest s'anomena sistema de funcions iterades (IFS), i el teorema fonamental —degut a John Hutchinson (1981), i basat en el teorema del punt fix de Banach— diu que per a qualsevol IFS existeix exactament un conjunt compacte que compleix aquesta equació. Existeix, i és únic. Per això la figura és sempre la mateixa: és l'única solució possible.
El nom «atractor» ve d'aquí: sigui quin sigui el conjunt de partida, aplicar-hi repetidament l'operació el fa convergir cap a A.
4. La dimensió fractal, i la seva lletra petita
La figura de Sierpiński no és una línia (dimensió 1) ni una superfície plena (dimensió 2). Té infinits forats però també infinit detall. Quina dimensió té?
La deducció és curta i val la pena fer-la, perquè és on hi ha la idea:
Un número entre 1 i 2, exacte i no aproximat, per a un objecte que la intuïció no sap on col·locar. Fins aquí, el que expliquen tots els llibres.
Cada N té el seu llindar rcrit, la raó més gran amb què les còpies encara no se solapen: N=3 i N=4 → 1/2; N=5 → (3−√5)/2 ≈ 0,382; N=6 → 1/3. Per això la càpsula, quan passes el lliscador per damunt d'aquest valor, deixa de donar-te un número i t'avisa que la fórmula ja no s'aplica. I per això, al mode Repte, les preguntes de dimensió només fan servir parelles (N,r) que compleixen la condició: una pregunta amb resposta falsa no és una pregunta.
5. Els casos límit, i què hi passa
N=4, r=1/2. D = log4/log2 = 2 exactament. Les quatre còpies del quadrat el tessel·len perfectament, sense forats ni solapaments. L'atractor és el quadrat sencer, ple. Aquest és el límit exacte on una figura deixa de ser «prima»: si en veus el resultat a la càpsula, és una taca uniforme, sense estructura.
r molt petita. Les còpies queden molt separades i l'atractor es converteix en una pols de punts aïllats, amb dimensió propera a 0. Prova N=3 amb r=0,3: D ≈ 0,91, menys que una línia.
Les restriccions. Els dos botons de restricció («mai el mateix dos cops seguits», «mai l'oposat de l'últim») canvien el joc de manera fonamental: el vèrtex ja no es tria amb llibertat total, i per tant ja no és un IFS estàndard — la fórmula simple deixa de valdre, i la càpsula t'ho diu explícitament en lloc de donar-te un número. Les figures que surten són genuïnament diferents i sovint més boniques: amb N=4 i la restricció de no repetir, apareix una estructura reticular que no s'assembla gens al quadrat ple del cas lliure.
6. Què fem a l'element interactiu
Mode Explora. Tries N i r, i vas afegint salts. El que val la pena fer, i no és obvi, és aquesta seqüència: posa N=3, r=0,5, i afegeix punts a poc a poc. Al principi sembla soroll. Cap als 200-300 punts comences a intuir-hi forats. Cap als 2000, l'estructura és inconfusible. Estàs veient l'ordre emergir d'un procés que no en té cap.
El requadre de la dimensió es recalcula en directe amb cada canvi de N o r, i et diu si estàs dins o fora del règim on la fórmula val.
Mode Repte. Hi ha dos tipus de ronda: predir la dimensió a partir de (N,r) —cosa que t'obliga a fer el càlcul logarítmic— i identificar quin (N,r) ha generat una figura que se't mostra ja feta, que és l'exercici invers i força més difícil.
7. Aparicions fora de les matemàtiques
Gràfics per ordinador. Els sistemes de funcions iterades són la manera estàndard de generar terrenys, núvols, arbres i vegetació procedural. Un arbre realista no s'emmagatzema vèrtex a vèrtex: es descriu amb unes poques transformacions i es genera al vol. El famós falguera de Barnsley es defineix amb només 4 transformacions afins i 24 números, i produeix una imatge indistingible d'una falguera real.
Compressió d'imatges fractal. Als anys 90, Michael Barnsley va comercialitzar un mètode que buscava, dins d'una imatge, quines parts s'assemblaven a versions encongides d'altres parts, i n'emmagatzemava només les transformacions. Es va fer servir a l'enciclopèdia Microsoft Encarta. Té la propietat curiosa que es pot descomprimir a qualsevol resolució, perquè el que es guarda no són píxels sinó regles.
Modelització de fenòmens naturals. Línies de costa, xarxes fluvials, ramificacions pulmonars i vasos sanguinis, estructura de galàxies: tots tenen dimensió fractal mesurable, i sovint la mesura té valor diagnòstic. La dimensió fractal de la vasculatura de la retina, per exemple, s'usa com a indicador en diverses patologies.
Antenes. Les antenes fractals (dissenys de Sierpiński o de Koch) tenen resposta en múltiples bandes de freqüència amb una mida física reduïda, precisament per la seva autosemblança. Se'n troben dins de molts telèfons mòbils.
8. Curiositats
Sierpiński està amagat al triangle de Pascal. Escriu el triangle de Pascal i acoloreix els números senars. Surt el triangle de Sierpiński. La raó és el teorema de Kummer/Lucas sobre binomials mòdul 2, i és un dels exemples més nets de com el mateix objecte apareix en contextos totalment desconnectats: aquí per atzar geomètric, allà per aritmètica de coeficients.
També el produeix un autòmat cel·lular. La «regla 90» de Wolfram —una regla local elemental sobre una fila de cel·les— genera exactament el mateix patró. Tres camins independents (atzar, aritmètica, regla local determinista) cap a la mateixa figura.
Sierpiński el va publicar el 1915, abans que existís la paraula «fractal». El terme el va encunyar Benoît Mandelbrot el 1975, seixanta anys després, a partir del llatí fractus, «trencat». Durant dècades aquestes figures es van considerar «monstres» patològics, contraexemples per posar a prova definicions, no objectes dignes d'estudi.
El nom «joc del caos» és de Barnsley. El va popularitzar al seu llibre Fractals Everywhere (1988). El nom és una mica enganyós: el procés és aleatori, però no és caòtic en el sentit tècnic del terme (no hi ha sensibilitat a les condicions inicials — més aviat el contrari, com hem vist al punt 2).
Amb els vèrtexs d'un quadrat, el joc «no funciona» en el sentit ingenu. Amb N=4 i r=1/2 s'omple tot el quadrat sense estructura. Per obtenir un fractal interessant amb 4 vèrtexs cal o bé baixar r, o bé afegir una restricció. Aquesta és una de les millors coses que es poden explorar a la càpsula: no tot IFS dona una figura bonica.
La dimensió pot ser irracional… i sempre ho és, gairebé. D = log3/log2 és irracional. De fet, per a valors genèrics de N i r la dimensió és un número irracional qualsevol. Que una figura tingui dimensió 1,585… i que això sigui un fet exacte i demostrable, no una mesura aproximada, és el que va costar més d'acceptar quan es va formalitzar el concepte.
9. Connexió amb altres àrees
La connexió més directa és amb el Mètode de Newton: allà s'itera una regla completament determinista (sense cap atzar) i també n'apareix un fractal. Els dos casos il·lustren la mateixa lliçó des de direccions oposades: iterar una regla simple genera complexitat, tant si la regla té atzar com si no. En un cas l'atzar no impedeix l'ordre; en l'altre, el determinisme no garanteix la predictibilitat.
Amb Fraccions contínues comparteix l'estructura d'«iterar una transformació i estudiar-ne el comportament límit»: allà, l'aplicació de Gauss; aquí, les contraccions de l'IFS. Tots dos són sistemes dinàmics disfressats.
I amb Característica d'Euler hi ha un contrast que val la pena: allà la dimensió és sempre entera i el que es mesura són forats comptables; aquí la dimensió és fraccionària i els forats són infinits. Són dues maneres complementàries de mesurar «com de complicada» és una figura.
Cada salt et mou una fracció r del camí cap a un vèrtex triat a l'atzar. Repetit moltes vegades, els punts dibuixen sempre el mateix atractor, siguis on siguis quan comences.