Nusos i tricolorabilitat

Com demostres que un nus està realment nuat? És a dir, que no és simplement un embolic que es desfaria sol si estiressis prou. La pregunta sembla trivial i no ho és gens: no pots provar totes les maneres de manipular la corda, perquè n'hi ha infinites. Aquesta càpsula ensenya la solució, que és una de les idees més elegants de la topologia: en lloc de manipular el nus, busca una propietat que cap manipulació pugui canviar, i comprova-la.

1. Què és un nus, per a un matemàtic

Primer cal precisar de què parlem, perquè el nus matemàtic no és exactament el de la sabata. Un nus és una corba tancada dins l'espai tridimensional, sense extrems lliures i sense autointerseccions. Els extrems units són essencials: si el nus tingués caps solts, sempre el podries desfer estirant, i tot plegat seria avorrit.

Dos nusos es consideren el mateix si pots deformar-ne un fins a l'altre movent la corda per l'espai sense tallar-la ni fer-la passar a través d'ella mateixa. Aquesta relació d'equivalència és el que fa el problema difícil: dos dibuixos completament diferents poden ser el mateix nus.

El nus més simple és el nus trivial: una circumferència, sense cap encreuament. La pregunta central de la teoria de nusos, en la seva forma més senzilla, és: donat un embolic qualsevol, és el nus trivial disfressat o no?

2. Diagrames i els tres moviments de Reidemeister

Treballar en tres dimensions és incòmode, així que es projecta el nus sobre un pla i s'apunta, a cada encreuament, quin tram passa per sobre. Això és un diagrama.

El problema evident és que un mateix nus té infinits diagrames possibles. Aquí entra el resultat que ho fa tot possible, degut a Kurt Reidemeister (1927): dos diagrames representen el mateix nus si i només si es pot passar de l'un a l'altre amb una successió de només tres moviments locals:

R1 — afegir o treure un bucle simple (una torsió) en un tram.
R2 — lliscar un tram per sobre d'un altre, creant o eliminant dos encreuaments alhora.
R3 — lliscar un tram a través d'un encreuament d'altres dos.

Aquest teorema converteix un problema geomètric infinit en un problema combinatori finit: per demostrar que alguna cosa és un invariant de nusos, n'hi ha prou de comprovar que els tres moviments no la canvien. Res més. Aquesta reducció és el que fa que la teoria de nusos moderna sigui possible.

3. La regla dels tres colors

Un diagrama es divideix en arcs: els trams de corda que van d'un punt on el fil passa per sota fins al següent. El trèvol clàssic en té tres.

Una 3-coloració consisteix a assignar un de tres colors a cada arc de manera que, a cada encreuament, els tres arcs que hi participen (el que passa per sobre i els dos trossos del que passa per sota) siguin:

o bé tots tres del mateix color, o bé tots tres de colors diferents.
Mai exactament dos iguals i un de diferent.

Pintar-ho tot d'un sol color sempre funciona: amb un color, «tots iguals» es compleix automàticament a tot arreu. Aquesta és la coloració trivial, i no informa de res. La pregunta real és:

4. Per què és un invariant: la comprovació

Aquí és on cal fer la feina. Cal veure que si un diagrama admet una coloració vàlida no trivial, el diagrama transformat per qualsevol moviment de Reidemeister també.

Moviment R1 (afegir un bucle)

En afegir una torsió, un arc es parteix en dos i apareix un encreuament nou on els tres arcs implicats són només dos trossos del mateix arc original i ell mateix. Si els pintes tots del color que ja tenia l'arc original, la condició «tots iguals» es compleix, i la resta del diagrama no s'ha tocat. La coloració sobreviu. Això és exactament el que fa el botó «Afegeix un bucle» de la càpsula: pots comprovar en directe que la coloració que ja tenies continua sent vàlida.

Moviment R2 (lliscar un tram per sobre d'un altre)

Apareixen dos encreuaments nous i un arc queda partit. Es comprova, cas per cas, que sempre hi ha una manera d'acolorir el tros nou que satisfà les dues condicions, i que és única. Cap coloració es perd ni se'n guanya cap.

Moviment R3 (lliscar a través d'un encreuament)

És el més laboriós però també el més interessant: els arcs implicats es reorganitzen però el nombre d'encreuaments no canvia, i es comprova que hi ha una correspondència exacta entre coloracions abans i després.

Un cop fetes les tres comprovacions, el resultat és sòlid: el nombre de 3-coloracions d'un diagrama és el mateix per a tots els diagrames del mateix nus. És una propietat del nus, no del dibuix.

5. Què demostra i què no demostra

Ara l'aplicació. El nus trivial té un sol arc i cap encreuament: l'única coloració possible és pintar-lo d'un color. El nus trivial no és tricolorable.

El trèvol, en canvi, sí que ho és: pinta els seus tres arcs de tres colors diferents i comprova cada encreuament — a tots tres hi conflueixen els tres colors, que és una de les dues situacions permeses.

I com que la tricolorabilitat és un invariant, i el trèvol en té i el nus trivial no, el trèvol no pot ser el nus trivial disfressat. Aquesta és una demostració completa i rigorosa, obtinguda pintant tres trossos de corda.

Aquesta asimetria no és un defecte d'aquest invariant concret: és la situació habitual amb els invariants, i la trobaràs idèntica al Trencaclosques del 15 (l'invariant demostra la impossibilitat, no la possibilitat) i a Característica d'Euler (el tor i l'ampolla de Klein tenen la mateixa χ i no són el mateix). Un invariant és una eina per distingir, mai per identificar.

6. Què fem a l'element interactiu

Els tres diagrames. Tens el nus trivial, el trèvol i el vuit invertit. No estan triats a l'atzar: són exactament els tres casos que necessites per entendre l'abast de l'eina —un que no és nus, un que la tricolorabilitat detecta, i un que està nuat però se li escapa.

Acolorir. Cliques els punts marcats sobre el dibuix (un per arc) i el color va rotant: blanc → color 1 → color 2 → color 3 → blanc. També pots fer-ho amb els botons «Arc 1, Arc 2…», que fan exactament el mateix i mostren l'estat en text.

La comprovació en directe. Cada encreuament es marca ✓ o ✗ en el moment que els seus tres arcs ja tenen color. No cal esperar a acabar per saber si vas bé.

«Afegeix un bucle». Aplica un moviment R1 real: parteix un arc i n'afegeix un de nou en forma de llaç. El diagrama canvia, els arcs augmenten, i la teva coloració segueix sent vàlida. Aquesta és la demostració de la invariància, feta amb el dit.

7. Un invariant amb estructura amagada

Val la pena anar un pas més enllà, perquè la tricolorabilitat no és un truc aïllat.

La condició «tots iguals o tots diferents» es pot reformular aritmèticament. Numera els colors 0, 1, 2 i mira-los com a elements de l'aritmètica mòdul 3. Aleshores la condició de cada encreuament és exactament:

(arc de sota 1) + (arc de sota 2) ≡ 2 × (arc de sobre)  (mod 3)

Comprova-ho: si tots tres són iguals a c, dona c+c = 2c ✓. Si són 0, 1, 2 en algun ordre, la suma dels dos de sota més el doble del de sobre sempre quadra mòdul 3 ✓.

Això converteix el problema d'acolorir en un sistema d'equacions lineals mòdul 3. I d'aquí en surt una conseqüència elegant: com que el conjunt de solucions d'un sistema lineal és un espai vectorial, el nombre de 3-coloracions és sempre una potència de 3. El nus trivial en té 3 (només les trivials); el trèvol en té 9.

I un cop ho veus així, la generalització és immediata: per què només 3 colors? Es pot fer amb n colors i l'aritmètica mòdul n. Això són les n-coloracions de Fox, i donen una família sencera d'invariants, cadascun capaç de detectar nusos que els altres no veuen. El vuit invertit, que se'ns escapa amb 3 colors, sí que es detecta amb 5.

8. Aparicions fora de les matemàtiques

Biologia molecular. L'ADN dins d'una cèl·lula està enrotllat i sovint nuat de veritat. Perquè es pugui replicar, cal desfer-lo, i les cèl·lules tenen enzims dedicats a fer-ho: les topoisomerases, que tallen la cadena, la fan passar per un altre tram i la tornen a soldar. Els biòlegs fan servir invariants de nusos per identificar quins nusos apareixen i deduir-ne com actua l'enzim. Diversos antibiòtics i fàrmacs contra el càncer funcionen precisament bloquejant topoisomerases.

Química. Des dels anys 80 s'han sintetitzat molècules que són literalment nusos, i el 2016 el Nobel de Química va reconèixer el treball sobre màquines moleculars que inclou aquesta línia. La forma nuada canvia les propietats físiques de la molècula.

Física teòrica. La teoria de nusos va tenir un renaixement espectacular als anys 80 quan Edward Witten va connectar el polinomi de Jones amb la teoria quàntica de camps. També reapareix en els mateixos anyons que trobaràs a la càpsula del Constructor de Trenes: la computació quàntica topològica és, essencialment, teoria de nusos aplicada.

Verificació i complexitat. Determinar si un diagrama representa el nus trivial (el «problema del desnuament») està en NP i també en co-NP, però no se sap si es pot resoldre en temps polinòmic. És un dels problemes oberts destacats a la frontera entre topologia i informàtica teòrica.

9. Curiositats

Tot va començar amb una teoria física equivocada. El 1867, Lord Kelvin va proposar que els àtoms eren nusos de vòrtexs en l'èter, i que els diferents elements químics corresponien a nusos diferents. La teoria era falsa, però va motivar el seu col·lega Peter Guthrie Tait a passar-se anys tabulant nusos a mà, creant la primera taula sistemàtica. Quan la teoria de l'èter va caure, les taules van quedar — i van fundar una disciplina.

La parella de Perko: un error que va durar 75 anys. A les taules clàssiques hi havia dues entrades de 10 encreuaments considerades nusos diferents. El 1974, l'advocat i matemàtic aficionat Kenneth Perko, treballant a casa seva, va demostrar que eren el mateix nus manipulant-ne una còpia física. Van estar catalogats com a diferents durant tres quarts de segle. Va caldre renumerar les taules.

El nombre de nusos creix salvatgement. Amb 10 encreuaments n'hi ha 165; amb 16, ja n'hi ha 1.701.936. La tabulació completa fins a 16 encreuaments es va acabar el 1998 amb ajuda d'ordinadors.

El trèvol té dues versions que no són la mateixa. El trèvol dretà i l'esquerrà són imatges especulars i no es poden deformar l'un en l'altre. La tricolorabilitat no els distingeix (tots dos són tricolorables); calen invariants més fins, com el polinomi de Jones, que sí que ho fa. És un bon recordatori de la jerarquia d'invariants.

Els cordons de les sabates i els cables dels auriculars. Hi ha estudis experimentals publicats sobre per què els cables es nuen sols dins la butxaca. La resposta curta: amb prou agitació, la probabilitat de formar un nus creix molt de pressa amb la longitud, i els nusos formats són majoritàriament els mateixos que apareixen a les taules de Tait.

Reidemeister va publicar-ho el mateix any que Alexander i Briggs. Els tres moviments es coneixen com «de Reidemeister» (1927), però James Alexander i Garland Briggs van arribar al mateix resultat independentment i gairebé alhora. És un dels casos de descobriment simultani més nets de la topologia.

10. Connexió amb altres àrees

La connexió més directa és amb el Constructor de Trenes, i és literal: pel teorema d'Alexander, tot nus s'obté tancant una trena, i el trèvol d'aquesta càpsula és exactament el tancament de σ₁³. Els moviments de Reidemeister d'aquí són els parents geomètrics de les relacions d'Artin d'allà —de fet, el moviment R3 és la relació de trena σᵢσᵢ₊₁σᵢ = σᵢ₊₁σᵢσᵢ₊₁ vista com a deformació.

Amb Característica d'Euler comparteix el bloc temàtic i la lògica: buscar quantitats que sobrevisquin a la deformació. Allà és un número que compta forats; aquí, un nombre de coloracions.

I amb el Trencaclosques del 15 comparteix l'estratègia sencera de demostració per invariant, incloent-hi la mateixa limitació: serveix per dir «impossible», no per dir «possible».

Finalment, la reformulació del punt 7 —el sistema d'equacions mòdul 3— connecta amb l'aritmètica modular de Reciprocitat quadràtica. Que un problema sobre cordes a l'espai es redueixi a àlgebra lineal sobre els enters mòdul 3 és, en si mateix, un bon exemple de com viatgen les idees entre àrees.