Pla d'Argand: multiplicar és girar

Els nombres complexos tenen la pitjor campanya de màrqueting de la història de les matemàtiques: es diuen «imaginaris», el nom els el va posar algú que els menyspreava, i normalment s'introdueixen dient que serveixen per resoldre x²+1=0 —cosa que és certa però no explica per què algú els va acabar acceptant. La història real és una altra, i és molt millor. I un cop entesa, el fet central d'aquesta càpsula (multiplicar és girar) deixa de ser un truc i esdevé inevitable.

1. Per què ningú necessitava els complexos per a x² + 1 = 0

Comencem desmuntant la versió escolar. Durant segles, els matemàtics es van trobar amb equacions com x² + 1 = 0 i van fer el més raonable: dir que no tenien solució. I ja està. No hi ha cap crisi: la paràbola y = x²+1 no toca l'eix, i s'ha acabat. Ningú va inventar cap número nou per això.

El que sí que va forçar la situació va ser una cosa molt més incòmoda: equacions de tercer grau amb tres arrels reals perfectament visibles, on la fórmula per trobar-les passava obligatòriament per arrels de números negatius.

Cardano va publicar la fórmula del tercer grau el 1545. Quan la va aplicar a certs casos, li apareixien arrels quadrades de negatius a mig camí, tot i que la resposta final era un enter net. Els números impossibles no eren la resposta: eren el camí.

Aquest cas es coneix com el casus irreducibilis, i té una propietat notable: quan una cúbica té tres arrels reals diferents, la fórmula de Cardano sempre passa pels complexos. No és evitable. No es tracta d'una manca d'enginy: es pot demostrar que no hi ha cap manera d'expressar aquelles arrels reals amb radicals reals.

2. La imatge que ho va resoldre tot

El problema de fons era que ningú sabia què eren. Descartes els va batejar «imaginaris» amb intenció despectiva, i el nom va quedar. Euler els feia servir amb virtuosisme sense saber ben bé sobre què treballava.

La solució va arribar amb una idea d'una simplicitat desconcertant: si els reals viuen en una línia, posem els complexos en un pla. El número a+bi és el punt de coordenades (a,b). El va proposar el topògraf noruec Caspar Wessel el 1797 (i ningú se'n va assabentar), després Jean-Robert Argand el 1806, i finalment Gauss el 1831 —i és a partir de Gauss que la comunitat ho accepta.

De cop, els nombres complexos no eren fantasmes: eren punts. I tot el que abans era misteriós es va tornar geomètric.

3. Mòdul i argument: la descripció que ho explica tot

Un punt del pla es pot descriure de dues maneres. La cartesiana és la que ja coneixes: z = a + bi, amb a l'horitzontal i b la vertical. Però n'hi ha una altra, i és la que fa que tot funcioni:

Mòdul |z| = la distància a l'origen = √(a²+b²)
Argument arg(z) = l'angle que forma amb l'eix horitzontal

Amb aquesta descripció, z = |z|(cos θ + i sin θ). Ara mirem què passa en multiplicar dos números escrits així:

Els mòduls es multipliquen; els arguments se sumen. Multiplicar per un número complex és, doncs, dues operacions geomètriques alhora: escalar i girar.

I ara el cas particular que ho il·lumina tot: què és multiplicar per i? El número i té mòdul 1 i argument 90°. Per tant multiplicar per i no canvia la mida i gira exactament un quart de volta. I què és i²? Girar 90° dues vegades, o sigui 180°, que és el mateix que canviar de signe. Per això i² = −1 — no és una definició arbitrària que cal empassar-se, és una conseqüència de la geometria.

4. Girar l'argument: les arrels n-èsimes

Un cop tens la regla, aplicar-la a l'inrevés és immediat. Si multiplicar suma angles, elevar a la n multiplica l'angle per n. Per tant, trobar les arrels n-èsimes d'un número w vol dir repartir el seu angle en n trossos iguals.

La resposta és neta i completa: hi ha exactament n arrels, totes a distància |w|^(1/n) de l'origen, i separades entre elles per un angle de 2π/n. Ni una més, ni una menys. Cauen als vèrtexs d'un polígon regular de n costats.

Per què n i no una? Perquè els angles θ, θ+2π, θ+4π… descriuen la mateixa direcció, però en dividir-los per n donen resultats diferents: θ/n, θ/n + 2π/n, θ/n + 4π/n… Després de n passos tornes al principi. La multiplicitat surt de l'ambigüitat de l'angle.

Quan w = 1, aquestes arrels s'anomenen arrels de la unitat, i formen un polígon regular inscrit a la circumferència unitat amb un vèrtex a l'1. Són, alhora, un objecte geomètric i un grup cíclic: exactament el Z/n de la càpsula de Taules de Cayley.

5. Què fem a l'element interactiu

Vista Multiplicació. Arrossegues z₁ (blau) i z₂ (vermell) i el producte (daurat) es recalcula en directe. El que cal mirar no és el punt daurat sinó els arcs i els cercles: els arcs mostren els tres arguments, i pots comprovar visualment que el tercer és la suma dels altres dos; els cercles mostren els tres mòduls.

Els camps numèrics de sota permeten posar valors exactes, cosa que arrossegant és impossible. Aquesta és la manera de comprovar els casos nets: posa z₁ = i i z₂ = i (és a dir, real 0 i imaginari 1 als dos) i veuràs el producte caure exactament a −1.

Vista Arrels n-èsimes. Tries n i arrossegues w. Després cliques al pla per proposar una arrel: si el teu punt, elevat a n, cau prou a prop de w, s'encaixa exactament al lloc correcte. El comptador et diu quantes n'has trobat de les n que hi ha.

6. Aparicions fora de les matemàtiques

Corrent altern. Tota l'enginyeria elèctrica de corrent altern es fa amb complexos. Una tensió sinusoidal es representa com un fasor: un número complex on el mòdul és l'amplitud i l'argument és la fase. Sumar dues senyals desfasades, que amb trigonometria és un embolic, es converteix en sumar dos vectors. Els enginyers escriuen j en lloc de i perquè la i ja és la intensitat.

Mecànica quàntica. L'estat d'un sistema quàntic és una funció d'ona amb valors complexos, i la probabilitat és el mòdul al quadrat. No és una comoditat de càlcul: la fase relativa entre estats és el que produeix la interferència, i la interferència és el fenomen quàntic per excel·lència. Sense complexos, no hi ha física quàntica.

Processament de senyal. La transformada de Fourier, que trobaràs a la càpsula de Sèries de Fourier, s'escriu de manera molt més neta amb exponencials complexes que amb sinus i cosinus. La FFT —l'algorisme que fa possible l'MP3, el JPEG, el WiFi i la ressonància magnètica— treballa amb números complexos de principi a fi.

Control i estabilitat. Un sistema de control és estable si els «pols» de la seva funció de transferència tenen part real negativa. Tot el disseny de sistemes de control es fa mirant on cauen uns punts al pla complex.

Gràfics i robòtica. Les rotacions al pla es fan multiplicant per complexos unitaris. En tres dimensions, l'equivalent són els quaternions, que és el que fan servir els motors de videojocs i els sistemes d'orientació de satèl·lits per evitar problemes que els angles d'Euler tenen.

Aerodinàmica i fluids. Les transformacions conformes —funcions complexes que preserven angles— permeten convertir el flux al voltant d'un cilindre (fàcil) en el flux al voltant d'un perfil d'ala (difícil). La transformació de Jukovski va ser, durant dècades, l'eina bàsica de disseny d'ales.

7. Curiositats

El nom és un insult que va quedar. «Imaginari» el va encunyar Descartes al segle XVII amb sentit despectiu: eren números que només existien a la imaginació. Gauss, que els entenia perfectament, va lamentar el nom i va proposar dir-los «laterals», precisament perquè viuen a un costat de la recta real. No li van fer cas.

Wessel va publicar-ho primer i va passar desapercebut durant un segle. El seu article de 1797 estava escrit en danès, en una revista poc llegida, i no es va redescobrir fins al 1895. Argand, que era comptable i matemàtic aficionat, va publicar el seu el 1806 en un fullet sense signar; va caldre una petita recerca per esbrinar-ne l'autor.

El teorema fonamental de l'àlgebra és, en el fons, un teorema d'anàlisi. Diu que tot polinomi de grau n amb coeficients complexos té exactament n arrels complexes. El que és notable és que no cal ampliar més: afegint una sola arrel (la i) queda tot tancat per sempre. Gauss en va donar quatre demostracions al llarg de la vida, la primera a la seva tesi doctoral de 1799.

La fórmula més bonica de la matemàtica surt d'aquí. Combinant la fórmula d'Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ amb θ = π, s'obté e^(iπ) + 1 = 0, que relaciona en cinc símbols les constants e, i, π, 1 i 0. En enquestes entre matemàtics surt regularment com el resultat més bell de tots.

Hamilton va trigar deu anys a trobar-ne la versió 3D, i no existeix. William Rowan Hamilton va buscar durant una dècada una manera d'estendre els complexos a tres dimensions. És impossible. El 1843, caminant pel pont de Broome a Dublín, va entendre que calien quatre dimensions i va gravar la fórmula dels quaternions a la pedra del pont amb un ganivet. Hi ha una placa que ho commemora.

Els enters de Gauss. Els complexos amb parts entera i imaginària senceres (a+bi amb a,b enters) formen un sistema aritmètic propi on es pot parlar de primers i factorització única. Gauss els va inventar per atacar les lleis de reciprocitat cúbica i biquadràtica que apareixen a la càpsula de Reciprocitat quadràtica. Un fet curiós que se'n dedueix: el 5, que és primer als enters normals, no ho és aquí, perquè 5 = (2+i)(2−i).

8. Connexió amb altres àrees

Amb Característica d'Euler hi ha una connexió literal: els vèrtexs d'un polígon regular de n costats inscrit en una circumferència són exactament les arrels n-èsimes de la unitat. El mateix objecte, vist com a geometria allà i com a àlgebra aquí.

Amb Taules de Cayley: les arrels n-èsimes de la unitat, amb la multiplicació, formen el grup cíclic Z/n. Quan allà gires un polígon, aquí estàs multiplicant complexos. Són la mateixa estructura amb dos vestits.

Amb el Mètode de Newton: la vista del fractal d'aquella càpsula viu en aquest pla, i el que s'hi calcula són les arrels de zⁿ−1, o sigui les arrels de la unitat d'aquí. Val la pena veure les dues càpsules seguides.

I amb Sèries de Fourier: les arrels de la unitat són les freqüències fonamentals de la transformada discreta de Fourier. La FFT s'entén molt millor un cop saps que multiplicar per una arrel de la unitat és girar.