Sèries de Fourier i el fenomen de Gibbs

La idea de Fourier —que qualsevol forma d'ona es pot construir sumant ones pures— és probablement la que més ha canviat la tecnologia del segle XX: hi és dins de cada MP3, cada JPEG, cada connexió WiFi i cada ressonància magnètica. Però aquesta càpsula no va només d'això. Va d'una cosa més subtil i més interessant: què vol dir exactament que una suma infinita «funciona», i com dues respostes contradictòries poden ser totes dues correctes.

1. La idea, i per què va escandalitzar

Joseph Fourier va presentar el 1807 una memòria sobre la propagació de la calor amb una afirmació que als seus contemporanis els va semblar inacceptable: qualsevol funció periòdica, per irregular que sigui, es pot escriure com una suma d'ones sinusoïdals.

El problema no era tècnic sinó filosòfic. Els sinus i cosinus són funcions llises, infinitament derivables, sense cap cantonada. Com pot una suma d'objectes perfectament suaus produir una funció amb un salt vertical? Lagrange, que era al comitè avaluador, s'hi va oposar. La memòria no es va publicar fins al 1822.

Fourier tenia raó en l'essencial i els seus crítics tenien raó en el rigor: calia precisar en quin sentit la suma «dona» la funció. Resoldre aquella pregunta va ocupar el segle XIX sencer i va acabar donant lloc a la teoria de la mesura i a l'anàlisi moderna. La càpsula està construïda al voltant d'aquesta tensió.

2. Com es troben els coeficients

Escrivim el que volem: f(x) = a₀/2 + Σ [aₙcos(nx) + bₙsin(nx)]. La pregunta és com trobar els coeficients.

El truc és una propietat notable de les funcions trigonomètriques anomenada ortogonalitat: si multipliques cos(nx) per cos(mx) i n'integres el producte al llarg d'un període complet, el resultat és zero sempre que n ≠ m. El mateix per als sinus, i per a qualsevol combinació de sinus amb cosinus.

Això vol dir que cada ona és «invisible» per a totes les altres. Així que si multipliques tota l'equació per cos(nx) i integres, tots els termes s'anul·len excepte el que buscaves, i en surt directament:

aₙ = (1/π)∫ f(x)·cos(nx) dx   bₙ = (1/π)∫ f(x)·sin(nx) dx

3. Suavitat i velocitat: la primera vista

Hi ha una relació directíssima entre com de suau és una funció i com de ràpid decauen els seus coeficients. És el tema de la primera vista de la càpsula, i es pot enunciar amb precisió:

• Funció amb un salt (discontinuïtat) → coeficients ~ 1/n. Decaïment lent.
• Funció contínua però amb un colze (derivada discontínua) → coeficients ~ 1/n². Molt més ràpid.
• Funció infinitament derivable → decaïment més ràpid que qualsevol potència.

La raó intuïtiva: per construir un canvi brusc calen freqüències molt altes, i com més brusc, més contribueixen. Una corba suau es pot muntar amb poques ones baixes.

Les tres ones de la càpsula ho il·lustren exactament. L'ona quadrada té bₙ = 4/(nπ) per a n senar: decaïment 1/n. La dent de serra, també amb salt, igual. L'ona triangular, que és contínua, té aₙ = −8/(π²n²): decaïment 1/n². A la vista de l'espectre es veu de manera immediata que les barres de la triangular s'esfondren molt més de pressa.

4. El fenomen de Gibbs: el 9% que no marxa mai

Ara el fenomen que dona nom a la càpsula. Fes la suma parcial de l'ona quadrada amb 10 harmònics i mira just al costat del salt: la corba se'n passa, puja per damunt del valor correcte, i després oscil·la fins a assentar-se.

La reacció natural és pensar que amb més termes això s'arreglarà. Prova-ho a la càpsula: posa 50 harmònics, 100, 200. I aquí ve la sorpresa:

El número exacte no és arbitrari: surt de la integral (2/π)∫₀^π (sin t)/t dt ≈ 1,178979, coneguda com a constant de Wilbraham–Gibbs. El sobrepic és la meitat d'aquest excés respecte d'1, o sigui 8,9490% del salt sencer.

La lliçó conceptual és important: la convergència puntual no implica convergència uniforme. Per a cada punt x fixat (que no sigui el salt), la sèrie hi convergeix correctament. Però el pitjor error de tot el domini no tendeix a zero, perquè el punt on es produeix va migrant cap al salt a mesura que afegeixes termes. Cada punt s'arregla; el conjunt, no.

A la vista de Gibbs, la càpsula mesura el sobrepic en directe mentre puges els harmònics. És l'única manera de convèncer-se'n de veritat: veure el número quedar-se clavat prop del 9% mentre la finestra es va estrenyent.

5. Parseval: l'altra resposta, i és la contrària

Ara la tercera vista, i el gir final de la càpsula. Fem una pregunta diferent: en lloc de mirar la forma, mirem l'energia.

El teorema de Parseval diu que l'energia total de f es reparteix exactament entre els coeficients:

$\frac{1}{\pi }\int f^2=\frac{a_0^2}{2}+\sum (a_n^2+b_n^2)$

És, literalment, el teorema de Pitàgores en dimensió infinita: la longitud al quadrat del vector és la suma dels quadrats de les seves coordenades. I aquí no hi ha cap sobrepic ni cap anomalia: la sèrie d'energies convergeix al 100%.

Aquesta és la raó per la qual els enginyers de senyal i els dissenyadors de filtres es preocupen per coses diferents: els primers treballen amb energia i poden ignorar Gibbs; els segons treballen amb forma i l'han de compensar activament.

6. Què fem a l'element interactiu

Vista 1 — Construcció i espectre. Tries una ona i vas afegint harmònics un a un. A dalt veus la suma parcial acostant-se a la forma objectiu; a sota, l'espectre de barres, on cada barra és la magnitud d'un coeficient. El que cal observar és el perfil de les barres: en les ones amb salt baixa lentament, a la triangular s'esfondra.

Vista 2 — Gibbs. Fa zoom just al salt i mesura el sobrepic en directe. Puja N i mira el número. Amb la triangular, que no té salt, el sobrepic és 0 —és el control experimental que confirma que el fenomen ve del salt i no de la sèrie en si.

Vista 3 — Energia i Parseval. Mateix N, però mesurant quin percentatge de l'energia total ja tens capturat. Aquest sí que puja cap al 100%.

7. Aparicions fora de les matemàtiques

Compressió d'àudio i imatge. L'MP3 transforma el so a freqüències, descarta les que l'oïda no percep i guarda la resta. El JPEG fa el mateix amb blocs de 8×8 píxels usant la transformada del cosinus. En tots dos casos, l'estalvi ve de poder llençar coeficients petits, cosa que només té sentit si saps que la informació està concentrada en pocs d'ells.

I l'artefacte de Gibbs és visible. Els «halos» o rebots que apareixen al voltant de vores nítides en imatges JPEG molt comprimides —text negre sobre fons blanc, típicament— són literalment el fenomen d'aquesta càpsula. El mateix passa a la ressonància magnètica, on es coneix com a ringing artifact i es compensa amb filtres específics.

Telecomunicacions. El WiFi, el 4G i el 5G fan servir OFDM, que reparteix les dades entre desenes de subportadores ortogonals —exactament la propietat d'ortogonalitat del punt 2, aplicada a l'enginyeria.

Ciència i medicina. La cristal·lografia de raigs X reconstrueix estructures moleculars a partir de patrons de difracció que són, essencialment, transformades de Fourier; així es va determinar l'estructura de l'ADN. La ressonància magnètica mesura directament l'espai de freqüències i el transforma per obtenir la imatge.

Equacions en derivades parcials. És per a això que Fourier ho va inventar: la sèrie converteix l'equació de la calor en infinites equacions ordinàries independents, una per freqüència, cadascuna trivial de resoldre. La mateixa tècnica s'aplica a l'equació d'ona i a l'equació de Schrödinger.

8. Curiositats

Gibbs no va ser el primer, ni de bon tros. El fenomen el va descriure Henry Wilbraham el 1848, en un article que ningú va llegir. Josiah Willard Gibbs el va redescobrir el 1899 en una carta a la revista Nature, arran d'una discussió sobre una màquina que dibuixava sèries de Fourier —i el nom va quedar. Avui de vegades es diu «fenomen de Wilbraham–Gibbs» per fer justícia.

Va sortir d'una màquina que dibuixava malament. La discussió que va portar Gibbs a escriure venia d'un analitzador harmònic mecànic construït per Michelson (el mateix de l'experiment Michelson–Morley). La màquina dibuixava un rebot al costat dels salts, i tothom pensava que era un defecte mecànic. No ho era: era matemàtica.

Gauss tenia la FFT 160 anys abans que Cooley i Tukey. L'algorisme de la transformada ràpida de Fourier es va publicar el 1965 i va revolucionar el càlcul científic. Anys després es va descobrir que Gauss havia escrit essencialment el mateix algorisme cap al 1805 —abans que Fourier publiqués la seva teoria— en un quadern que no va publicar mai i que estava escrit en un llatí poc habitual.

Fourier va ser governador i egiptòleg. Va acompanyar Napoleó a Egipte, va ser secretari de l'Institut d'Egipte i després prefecte del departament d'Isère, on va supervisar el drenatge de pantans i la construcció de carreteres. La teoria de la calor la va desenvolupar mentre exercia d'administrador.

Va morir, probablement, per les seves pròpies teories. Convençut que la calor era beneficiosa per a la salut, mantenia casa seva sobreescalfada i s'embolicava amb mantes fins i tot a l'estiu. Va morir el 1830. També és seu el primer plantejament conegut del que avui anomenem efecte hivernacle.

Hi ha funcions contínues on la sèrie falla del tot. Du Bois-Reymond va construir el 1876 una funció contínua la sèrie de Fourier de la qual divergeix en un punt. Kolmogorov va anar més enllà el 1926 amb una funció integrable la sèrie de la qual divergeix a tot arreu. La pregunta de fins on arribava el desastre va quedar oberta fins que Lennart Carleson va demostrar el 1966 que, per a funcions d'energia finita, la sèrie convergeix gairebé a tot arreu. Li van donar el premi Abel el 2006.

Una identitat regalada. Aplicar Parseval a l'ona quadrada demostra, com a subproducte, que la suma dels inversos dels quadrats senars val π²/8. Fent-ho amb altres ones se n'obtenen d'altres, incloent-hi la famosa Σ1/n² = π²/6 que Euler va resoldre el 1735 i que es coneix com el problema de Basilea.

9. Connexió amb altres àrees

Amb el Pla d'Argand la relació és profunda: la manera moderna d'escriure les sèries de Fourier no fa servir sinus i cosinus sinó exponencials complexes e^(inx), gràcies a la fórmula d'Euler. Les freqüències de la transformada discreta són exactament les arrels de la unitat d'aquella càpsula, i la FFT és, en essència, explotar la seva estructura de grup cíclic.

Amb Camp de pendents: Fourier va inventar tot això per resoldre una equació diferencial (la de la calor). La tècnica és complementària a la d'allà —en lloc d'integrar numèricament pas a pas, es descompon el problema en peces que es resolen exactament.

Amb Taules de Cayley hi ha un pont que sorprèn: l'anàlisi de Fourier es generalitza a grups qualssevol (anàlisi harmònica), i les ones sin(nx) i cos(nx) són els «caràcters» del grup de rotacions del cercle. Fer Fourier sobre un grup finit és exactament el que fa la transformada discreta.

I amb Fraccions contínues, un vincle inesperat: la constant de Khinchin d'aquella càpsula i els resultats de convergència «gairebé a tot arreu» d'aquesta pertanyen a la mateixa família d'idees, on «gairebé tot» té un significat tècnic precís que va sorgir, precisament, dels problemes que les sèries de Fourier van plantejar al segle XIX.