Taules de Cayley

Els grups són l'abstracció més rendible de les matemàtiques: una definició de quatre línies que descriu alhora les simetries d'un cristall, les solucions d'una equació, els moviments d'un cub de Rubik i la conservació de l'energia. D'on surt aquesta definició, per què hi és cada condició, què construeixes quan omples una casella, i per què «són el mateix grup?» és molt més difícil del que sembla.

1. El problema que va fer necessària la definició

Val la pena començar per on va començar la història, perquè la definició abstracta de grup no va caure del cel: va sorgir de gent que intentava resoldre un problema concret i es va adonar que sempre reapareixia la mateixa estructura.

El problema era resoldre equacions per radicals. Hi ha fórmula per al grau 2 (la de tota la vida), n'hi ha per al grau 3 i per al grau 4, i durant tres segles ningú en va trobar cap per al grau 5. A principis del segle XIX, Abel i després Galois van entendre per què: la clau no eren les arrels en si, sinó com es poden permutar les arrels entre elles sense que cap relació algebraica es trenqui. Aquell conjunt de permutacions vàlides tenia una estructura interna molt marcada, i era aquella estructura la que decidia si l'equació es podia resoldre o no. Galois va ser qui va batejar-la: groupe.

El salt següent el va fer Arthur Cayley el 1854. Va observar que la mateixa estructura apareixia en llocs que no tenien res a veure amb equacions —moviments geomètrics, aritmètiques modulars, matrius— i va proposar quedar-se només amb les regles del joc, oblidant de què estaven fets els objectes. Aquesta és la idea abstracta de grup, i és la que fa que aquesta càpsula tingui sentit: una taula pot descriure alhora coses que semblaven no tenir res en comú.

2. Les quatre condicions

Un grup és un conjunt d'elements amb una operació ∘ que compleix quatre coses. Enunciar-les és fàcil; el que val la pena és veure què passa si en falta alguna.

(1) Tancament. Combinar dos elements del conjunt ha de donar un element del conjunt. Sense això no es pot ni construir la taula: hi hauria caselles el resultat de les quals no cabria a la graella. Exemple del que falla: els números senars amb la suma no són tancats, perquè 3+5 = 8 és parell.

(2) Associativitat. (a∘b)∘c = a∘(b∘c). Sense això, escriure a∘b∘c no vol dir res, perquè el resultat dependria d'on posessis els parèntesis. És la condició que permet parlar de «encadenar moviments» sense haver d'especificar l'ordre d'agrupació. Exemple del que falla: la resta, perquè (8−3)−2 = 3 però 8−(3−2) = 7.

(3) Element neutre. Hi ha d'haver un element e que no faci res: a∘e = e∘a = a. En termes de moviments, és el «quedar-se quiet». Sense ell no hi ha punt de referència ni es pot parlar de desfer res.

(4) Invers. Cada element ha de tenir un company que el desfaci: a∘a⁻¹ = e. Aquesta és, potser, la condició més exigent i la que dona als grups tot el seu poder: tot moviment ha de ser reversible.

3. Per què el moviment i no el símbol

Aquí hi ha una decisió pedagògica que val la pena explicar. La majoria de textos presenten un grup com una taula de símbols: e, r, r², s… i et demanen que en manipulis les lletres. El problema és que així la taula sembla una convenció arbitrària que cal memoritzar.

Però cada element d'un grup és, gairebé sempre, un moviment concret. A Z/4, «r» vol dir «gira un quart de volta». A D₄, «s» vol dir «capgira el quadrat». A S₃, els elements són maneres de barrejar tres boles. Per això, quan cliques una casella, la càpsula primer et reprodueix l'animació: veus com actua l'element de la columna sobre els punts de colors, i després com hi actua el de la fila. La casella no és un símbol que has de recordar; és el registre de on han acabat els punts.

Hi ha un detall d'ordre que sovint confon i que la càpsula fa explícit amb l'animació. La casella (i,j) és gᵢ∘gⱼ, i això es llegeix com una composició de funcions: primer actua gⱼ (la columna) i després gᵢ (la fila), igual que a f(g(x)) primer s'aplica g. L'animació ho fa en aquest ordre precisament perquè aquesta convenció no s'hagi de memoritzar.

4. La taula és un quadrat llatí

Un cop n'hagis omplert unes quantes, notaràs una cosa: a cada fila i a cada columna, cada element apareix exactament una vegada. Mai se'n repeteix cap, mai en falta cap. Una graella amb aquesta propietat es diu «quadrat llatí», com un sudoku sense les caixes.

La demostració és curta i val la pena seguir-la, perquè fa servir la condició (4). Suposem que a una fila hi apareix dues vegades el mateix resultat: g∘x = g∘y. Multipliquem tots dos costats per g⁻¹ per l'esquerra: g⁻¹∘(g∘x) = g⁻¹∘(g∘y). Per associativitat això és (g⁻¹∘g)∘x = (g⁻¹∘g)∘y, o sigui e∘x = e∘y, o sigui x = y. És a dir: no eren dues entrades diferents. Per tant no hi pot haver repeticions.

5. Abelians i no abelians

Si la taula surt simètrica respecte de la diagonal, vol dir que gᵢ∘gⱼ = gⱼ∘gᵢ per a tot parell: el grup és abelià (en honor a Abel) i l'ordre de les operacions no importa. Tots els Z/n ho són.

D₄, D₅ i S₃ no ho són, i la manera de convèncer-se'n no és mirar la taula sinó fer-ho amb les mans. Agafa un llibre. Gira'l 90° sobre la taula i després capgira'l com si obrissis la tapa. Ara torna a començar i fes els dos moviments en l'ordre contrari. El llibre no acaba igual. Aquest fet físic tan tangible és exactament el que la taula registra quan no és simètrica.

Aquesta distinció, que sembla un detall tècnic, és la frontera on viu tota la teoria de Galois: com veuràs a aquella càpsula, que una equació es pugui resoldre per radicals depèn de si el seu grup es pot desmuntar en peces abelianes. La commutativitat no és una comoditat de càlcul; és una propietat estructural amb conseqüències enormes.

6. Subgrups i el teorema de Lagrange

Un subgrup és un tros del grup que ja forma un grup per si sol. La vista «Subgrups» de la càpsula et deixa marcar elements i comprova en directe si el conjunt candidat és tancat: si combinant-ne dos qualssevol mai en surts.

I aquí hi ha una economia sorprenent: per a un grup finit, comprovar el tancament n'hi ha prou. No cal verificar per separat que hi és l'element neutre ni que hi són els inversos —hi surten sols. La raó: si a és al conjunt i el conjunt és tancat, també hi són a², a³, … Com que el grup és finit, aquesta llista s'ha de repetir en algun moment, i d'aquí se'n dedueix que alguna potència d'a és e, i que la potència anterior és a⁻¹. Tot cau del tancament.

7. Quan són el mateix grup?

Aquí arriba el motiu real pel qual Cayley volia taules. Dos grups poden tenir els elements amb noms completament diferents i ser, estructuralment, idèntics. Es diu que són isomorfs: existeix una manera de reetiquetar els elements de l'un amb els noms de l'altre de manera que les dues taules coincideixin casella a casella. Formalment, una bijecció σ amb σ(a∘b) = σ(a)∘σ(b).

L'exemple canònic —i el que hi ha al mode Repte— són Z/4 i Z/2×Z/2. Tots dos tenen exactament 4 elements. Tots dos són abelians. Les seves taules són quadrats llatins 4×4 simètrics. I tanmateix no són isomorfs, i es pot demostrar sense provar les 24 reetiquetacions possibles: a Z/4 hi ha un element que, repetit, triga 4 passos a tornar a l'origen (té «ordre 4»); a Z/2×Z/2 tots els elements no neutres tornen a l'origen en 2 passos. Com que un isomorfisme ha de conservar l'ordre de cada element, no n'hi pot haver cap.

Aquesta manera d'argumentar —trobar una propietat que un isomorfisme hauria de conservar i veure que difereix— és la tècnica estàndard, i és la mateixa idea d'invariant que trobaràs al Trencaclosques del 15 i a Nusos i tricolorabilitat.

8. Recorregut amb l'element interactiu

Un cop t'hi trobis còmode, prova D₅: 10 elements, les simetries completes d'un pentàgon (5 girs i 5 reflexions). La taula és de 100 caselles i no és simètrica —les reflexions no commuten amb els girs—, i és l'exemple més gran de la càpsula. Fixa't que Lagrange permet subgrups de mida 1, 2, 5 i 10: hi trobaràs el subgrup dels 5 girs (que és Z/5) i cinc subgrups de mida 2, un per cada reflexió.

9. Aparicions fora de les matemàtiques

Química i cristal·lografia. Les simetries d'una molècula formen un grup, i aquest grup determina quines vibracions són actives a l'espectroscòpia infraroja o Raman. Els químics usen taules de caràcters —descendents directes de les taules de Cayley— per predir espectres sense resoldre cap equació. Al món cristal·lí només hi ha 230 grups espacials possibles en tres dimensions: un resultat de classificació completa, com el dels 5 sòlids platònics.

Física. El teorema de Noether (1918) diu que cada simetria contínua correspon a una llei de conservació: la invariància per translació temporal dona la conservació de l'energia; la invariància per rotació dona la conservació del moment angular. El model estàndard de la física de partícules s'enuncia, literalment, com un grup: SU(3)×SU(2)×U(1).

Criptografia. La seguretat de Diffie–Hellman i de la criptografia de corbes el·líptiques es basa en la dificultat del «logaritme discret» dins d'un grup concret. Tota la seguretat de les connexions HTTPS descansa sobre l'estructura de grup.

Codis correctors d'errors. Els codis lineals que fan que un CD ratllat encara soni o que les fotos de sondes espacials arribin senceres són subgrups d'un grup de vectors.

10. Curiositats

Tot grup és, en el fons, un grup de permutacions. El teorema de Cayley diu que qualsevol grup és isomorf a un subgrup d'un grup simètric. La demostració és elegant: agafa la taula del grup i mira cada fila com una permutació dels elements. Com que cada fila és un quadrat llatí, ho és de debò, i aquesta correspondència és un isomorfisme. Dit d'una altra manera: la taula que estàs omplint ja és, ella mateixa, la demostració del teorema.

Quants grups hi ha de cada mida? La successió no té cap patró obvi: per a n = 1, 2, 3, … el nombre de grups diferents és 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, … Els d'ordre primer són sempre un de sol; el d'ordre 8 ja en té cinc. I d'ordre 1024 n'hi ha més de 49 mil milions. La mida no diu gairebé res sobre la complexitat.

La classificació dels grups simples finits. És, amb diferència, la demostració col·lectiva més llarga de la història: milers de pàgines repartides en centenars d'articles de més de cent autors, entre els anys 50 i els 80 (amb un forat que no es va tancar del tot fins al 2004). El resultat classifica tots els «àtoms» dels quals estan fets els grups finits. Entre ells hi ha 26 grups «esporàdics» que no encaixen en cap família, i el més gran es diu el Monstre: té aproximadament 8×10⁵³ elements, més que àtoms té la Terra.

El cub de Rubik és un grup. Els seus 43.252.003.274.489.856.000 estats accessibles formen un grup sota composició de moviments. Que hi hagi exactament aquest nombre —i no els 5×10²⁰ que sortirien si es poguessin desmuntar les peces— és una conseqüència d'invariants de paritat i orientació molt semblants als que fan servir el Trencaclosques del 15.

Galois va escriure-ho la nit abans de morir. Tenia 20 anys, va morir en un duel el 1832, i la nit anterior va escriure febrilment les idees que fundarien tot això, amb notes al marge que deien «no tinc temps». La paraula «grup» amb el sentit matemàtic actual surt d'aquells papers.

11. Connexió amb altres àrees

Aquesta càpsula és, en cert sentit, la infraestructura de tot el bloc d'àlgebra. Al Trencaclosques del 15 hi trobaràs el grup altern —les permutacions parelles— fent de guardià del que és possible i el que no. Al Constructor de Trenes hi ha un grup infinit i no abelià definit només amb dues relacions, i el problema de decidir si dues expressions són el mateix element. A la Teoria de Galois hi apareix el grup que decideix si una equació és resoluble, i concretament Z/2×Z/2, un dels que pots construir aquí.

I hi ha un pont directe cap a l'aritmètica: els grups Z/n que veus com a girs d'un polígon són exactament el mateix que l'aritmètica modular de la càpsula de Reciprocitat quadràtica. Quan allà sumes hores en un rellotge, aquí estàs girant un polígon. La taula és la mateixa; només hi canvia el dibuix.